如何计算债券的久期？ 债券基金股票比例是多少啊怎么算的呢

占个坑，考完试回来答2018年3月15日 更新，目测一次写不完了，大概分成两个部分。第一部分推导年金久期的公式，第二部分推导普通债券久期的公式，比较有意思的地方就是会用到组合久期的思想。

先定义几个字母：

c：票面利率，每期支付；C：每期支付的利息，等于c*面值M； r：两次支付间的市场利率，用于贴现； T：一共支付T次

我理解的债券久期：描述一只债券价格对于利率的敏感度，用直观的语言表述就是债券支付现金流“时间”的加权平均和，权重由对应现金流贴现后占价格P的比例决定。。。如果比较懒，就直接看我给的公式吧。。。

1.年金久期

1.1 永续年金久期

D= frac{1+r}{r}

解析：永续年金的现金流每一期都是C，价格P=C/r，久期D= sum_{i=1}^{∞}{（frac{C*i}{P*（1+r）^{i}}）}=sum_{i=1}^{∞}{frac{r*i}{（1+r）^{i}}} ，类似于高中数学等差数列乘以等比数列，然后求和，最后得到答案就是上面的公式

1.2 延后永续年金久期

D=t+ frac{1+r}{r}

解析：假定第t+1期第一次开始支付利息，P= frac{C}{r(1+r)^t} ，久期D= sum_{i=1}^{∞}{（frac{C*（i+t）}{P*（1+r）^{i+t}}）} ，化简后就可以得到上面的公式

1.3 有限期年金久期

D= frac{1+r}{r}-frac{t}{(1+r)^t-1}

解析：从现在起支付t期的年金，也就是说从t+1期开始停止支付。这里要用组合的思想了，从现金流角度出发，这种有限年金可以视为1笔永续年金收入和1笔延后永续年金（t+1期开始支付）支出的组合。组合久期相当于它们久期的市值加权平均（权重由价格决定）

久期D= frac{frac{C}{r}*frac{1+r}{r}-frac{C}{r*(1+r)^t}*(t+frac{1+r}{r})}{frac{C}{r}-frac{C}{r*(1+r)^t}} ，把分子部分 frac{C}{r*(1+r)^t}*t 分离出去，就可以得到上面的公式了

2.普通债券久期

D= frac{1+r}{r}+frac{t*(r-c)-(1+r)}{c[(1+r)^t-1]+r}

解析：从现金流的角度，普通债券相当于①有限期年金和一笔②零息债券的结合，运用组合久期的思路，用1中的结论，计算①的久期，再和②加权平均即可。

②的价格 P_{2}= frac{M}{(1+r)^t} ， D_{2} =t (零息债久期就是它的期限，这个显然就不推导了)，接下来就是加权平均：

D= frac{[frac{1+r}{r}-frac{t}{(1+r)^t-1}]*[frac{C}{r}*(1-frac{1}{(1+r)^t})]+frac{Mt}{(1+r)^t}}{frac{C}{r}*(1-frac{1}{(1+r)^t})+frac{M}{(1+r)^t}}

D= frac{frac{1+r}{r}frac{c}{r}*frac{(1+r)^t-1}{(1+r)^t}-frac{c}{r}*frac{t}{(1+r)^t}+frac{t}{(1+r)^t}}{frac{c}{r}*frac{(1+r)^t-1}{(1+r)^t}+frac{1}{(1+r)^t}} ,打开括号，上下同时除以M（C=Mc）

D= frac{frac{1+r}{r}frac{c}{r}*[(1+r)^t-1]-frac{c}{r}*t+t}{frac{c}{r}*[(1+r)^t-1]+1} ,上下同时乘以 (1+r)^t

D= frac{1+r}{r}+frac{t-frac{ct}{r}-frac{1+r}{r}}{frac{c}{r}*[(1+r)^t-1]+1} ，分子配一个 frac{1+r}{r} ,就可以把分子第一项分离

D= frac{1+r}{r}+frac{t*(r-c)-(1+r)}{c[(1+r)^t-1]+r} ，上下同时乘以c，加括号就得到最初的公式

注意C和c含义不同，理论上知道一只债券的单期收益率r，票面利率c，以及支付期数t，就可以用这个公式得到普通债券的久期

延伸：

对票面利率c=收益率r的债券，久期D= frac{1+r}{r}*[1-frac{1}{(1+r)^t}]好了，终于把坑填完了←__←