第五章：远期和期货价格的确定

本章我们主要研究标的资产远期价格、期货价格与即期价格的关系。

远期合约相比期货合约更容易分析，因为它不需要每天结算。幸运的是，相同到期日的远期价格和期货价格非常接近。

因此我们首先学习远期价格的确定方法。

5.1 投资资产与消费资产

投资资产：有足够多的投资者持有它的唯一目的就是为了投资。例如，黄金，白银，股票，证券（金融类）消费资产：持有资产的主要目的是为了消费。例如，铜，原油，猪肉（商品类）

对于投资类资产，我们可以从无套利假设出发，由即期价格与其他市场变量得出远期价格和期货价格。

而对于消费资产无法做到这点。因为他有使用价值，一般情况现货价格会高于期货价格。

5.2 卖空

一些套利策略需要用到“卖空”（short selling）操作。也就是说卖出不属于自己的资产。部分投资类资产允许卖空操作。我们以股票为例介绍如何进行卖空操作。

假设某投资者通过 broker 卖空 500 股 IBM 股票。broker 会通过“借用”其他客户的股票来卖出。在之后某个时期，这个投资者需要再买入 500 股 IBM 股票来平仓。这 500 股股票用于归还其他客户之前借出的股票。

在这个过程中，如果股票价值下跌了，那么这个投资者就实现了“高卖低买”从而获利，反之则遭受损失。

这个投资者在卖空期间需要支付资产所带来的收益给 broker。例如股息或者利息。broker 将这些收益转发给“借出”资产的客户。

5.4 投资资产的远期价格5.4.1 不提供中间收入的资产

考虑一个投资类资产的远期合约，它不提供任何收入，即期价格为。距离到期日时间为，无风险利率为，远期价格为。则我们有：

下面以一个简单的例子来说明定价的原理。

考虑一个 3 个月期无股息股票的远期合约。假设股票当前价格为 40 美元，3 个月期无风险利率为每年 5% （连续复利）。

则可以计算得到 3 个月无风险投资的收益为 。

远期价格现在的交易三个月后的交易43美元以 5% 利率借入 40 美元买入股票，并进入远期合约空头以43 美元价格卖出股票，偿还利息40.5美元，无风险收益2.5美元39美元卖空一只股票，将40美元收益以 5% 利率投资三个月。进入远期合约的多头获得 40.5 美元投资收益，以39美元买入股票对卖空交易平仓，无风险收益1.5美元

因此，为了保证无套利机会，远期价格必须为 40.5 美元。

5.4.2 提供已知中间收入的资产

考虑某个债券，当前价格为900美元，假定远期合约期限为9个月，在4个月后有 40 美元的券息付款，并假定 4 个月期及 9 个月期的利率分别是 3% 和 4%。

借入 900 美元，买入债券具体借款额度，可以根据 2. 得到在 4 个月收到 40 美元券息付款，用于偿还债务贴现得到 ，故可偿还 39.6，期限为 4 个月，利率为 3% 的债务。因此当初借款时最优方案为借 39.6 美元 4个月期，860.4 美元 9 个月期。在 9 个月时卖出债券并还款。还需还款 。

因此只要该远期合约定价不等于 886.60，都存在套现机会。若低于 886.60，可以卖空套利。

假设 为期限， 为无风险利率（连续复利）， 为折现后总的中间收入， 为即期价格，则远期价格 可通过以下公式计算：

商品期货可以看作此类情形，由于商品期货存在存储费用等花销，可以认为是 为负的情况。

例如，假定黄金的即期价格为 450 美元，无风险利率为 7%，存储费用为 2 美元，年末支付。则 1 年期黄金的远期价格为：

5.4.3 收益率为已知的情形

该结果类似于 5.4.1，假设收益率 也是以连续复利形式给出， 为期限， 为无风险利率（连续复利），则远期价格 可通过以下公式计算：

直观上非常好理解，因为收益率与无风险利率都是以连续复利形式计算的，两者其实作用是一样的。

复杂点说，假设我们在 0 时刻以利率 借入 买入资产，同时进入远期空头，卖出价格为 。

此外，我们将收益立刻用于还款，以降低利息支出。由于两者都是连续复利，可以认为我们实际借款利率变成了 。因此，利用 5.4.1 结论可以得出上面的公式。

股指期货价格就是利用该公式确定的，因为它具有固定的股息收益。

例1

一家银行向客户提供两种选择：一种是按 11% 利率（每年复利 1 次）借入现金，另一种是以 2% 利率（每年复利 1 次）借入黄金（当借入黄金时，必须以黄金形式支付本息）。无风险利率是 9.25%，贮存费用为每年 0.5%，均是连续复利。讨论哪种方案利率更高？

假设该借款人直接将黄金卖出，并进入远期多头。

贮存费用可以看作是固定的负的收益率。因此可以算出一年后黄金的远期价格为（假设当前黄金价格为 ）：

此外，还需额外支付 2% 的黄金利息，即最后需要还 102%。则利率为 。显然大于现金的 0.11。

5.7 远期合约的定价

假设 是事先商量好的交割价格， 是现在新签订远期合约的交割价格， 是无风险利率， 是距离到期日时间。则远期合约的价值为：

该式的意义是显然的，即目前对未来现金流的最好估计为 ，将其以无风险收益率 贴现至现在的价值即为远期合约的价值。

在刚刚进入远期合约时，其价值为 0。这是显然的，因为协商的交割价格 ，否则交易双方无法达成一致。随着时间推移，新签订的交割价格 会变动，而 维持不变， 所以上式会波动。

以一道例题说明。

例1

股票预计在 2 个月和 5 个月时支付 1 美元股息。股票当前价格为 50 美元，对应所有期限的连续复利无风险利率为 8%。某投资者刚刚进入了 6 个月期限的远期合约空头。(a) 远期价格与远期合约的初始价值为多少？(b) 在 3 个月后，股票价格变为 48 美元，无风险利率仍为每年 8%，这时远期价格和远期合约空头价值为多少？

(a)远期价格套用公式即可：

远期合约多头、空头初始价值为 0。

(b)这里注意不能直接不能直接用 (a) 中的远期价格，因为 是随时间变化的。

3 个月后，变为：

而该合约交割价格依然是3个月前商定的 50.01，带入公式计算合约价值：

5.10 货币的远期和期货合约

以两个例题说明。

例1

假设澳元和美元 2 年期无风险利率分别为 5% 和 7%。且澳元对美元汇率为 1 : 0.62。则 2 年期的远期汇率应该为多少？

由于美元利率较高，我们假设将澳元兑换为美元获取收益，再通过2年远期合约换回澳元。假设远期汇率为 ，若期望无套利机会，则应该有：

即在澳洲收益（在未来换算成美元）等于立即兑换为美元后收益。

解得 ，否则可以通过上述方式套利。

例2

一家美国公司想通过期货合约来对冲澳元的风险敞口。假定美国和澳洲的无风险利率分别为 和 ，公司利用 时刻到期的合约来对冲时间 的风险敞口()。则最佳对冲比率为多少？

该题与第三章结合起来了。首先计算在 时刻的现货和期货价格关系。假设 时刻约定的 时刻远期合约的交割汇率(美元/澳元)为 ， 时刻即期汇率为。若要保证无套利机会，则从 至 期间，有以下关系（澳洲收益=美国收益）：

可以得出

而最佳对冲比率计算方法为：

最小方差对冲比率 = 相关系数 * (即期价格变化标准差 / 期货价格变化标准差)

相关系数显然为1，标准差之比与 相同，故最佳对冲比率为