金融衍生品 5远期合约和期货合约定价

这是《期权、期货和其他金融衍生品》教材中的第三章的读书笔记。

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Hull, John C.Options futures and other derivatives. Pearson Education India, 2003.

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一、简介

对于定价分析来说，远期合约由于没有 daily settlement，因此分析更简单；所以我们先分析远期合约，然后再来研究期货合约。我们需要对于资产类型的不同来进行不同的分析，主要可以划分为两大类：

投资类资产（investment asset）：至少有一部分投资者持有他们是纯粹为了投资，对于这类资产的分析可以用套利分析来对其定价，这类资产包括股票、债券、金银等。消耗类资产（consumption asset）：这类资产主要是作为工业品原料，对于这类资产的分析不能用套利理论来对其定价，这类包括原油、生猪、铜等。

这里的定价分析主要基于以下假设：

没有手续费；投资盈利的税率对于每个市场参与者一样；市场参与者可以以同样的无风险利率借/贷；当套利机会出现的时候，至少有部分市场参与者会进行套利。

其中最后一点在定价分析里面十分关键：套利（arbitrage argument）。

此外，套利分析里面经常会假设能够做空（short selling），即卖出自己不拥有的资产。做空和做多现金流可以认为完全对称（比如，期货里面做空也需要缴纳一样的保证金，并且每日结算）。虽然很多市场都提供做空的方式，但是可能并不是每个投资者都能有效做空；不过这并不太影响定价分析的有效性，因为只要市场上部分持有资产的人去卖出资产进行套利即可。

二、投资类资产的远期合约/期货合约定价符号定义远期合约定价

Case 1：持有资产不带来收入

这类资产包括没有股息的股票、零息债券等。先上结论，定价公式如下：

举一个例子，假设现货价格 ，无风险利率为 r=5%，交割期为 R=0.25；计算得到期货定价为 。如果高于或者低于这个价格（比如 $43 或者 $39），都能产生相应的套利策略从而盈利，如下表所示。

Case 2：持有资产带来可以预计的现金收入

这类资产包括有确定姑息的股票、附息国债。先上结论，定价公式为：

其中 为预计现金收入折算到现在的价值。比如某只股票在未来的 3、6、9 月都会产生$0.75 的现金股息，再假设无风险利率为 8%，那么

类似地，该定价公式也是通过套利分析得到的。

Case 3：持有资产带来可以预计的收益

和前面类似，持有这类资产也可以带来收益，不过收益是按照资产价格的比例来规定的。结论是：

其中 q 是持有这个资产期间可以带来的收益率（按照年化连续复利计算）。比如某资产每半年提供 2% 的额外收入，那么按照半年复利计算为年化 4%，折算成连续复利为 q=3.96%。

远期合约估值

在刚刚进入某个远期合约的时候，远期合约的价值为零；随着时间的推进，由于合约市价的变动，其价值不为零。一个未来 T 时间之后交割、交割价格为 K 的远期合约（多头），如果现在的市场价格为 ，那么其价值为

根据定价公式，还可以得出

类似地，如果有可预期的收益，其价值也可以相应写作

期货合约和远期合约定价差异

总体上来说，交割期和标的资产相同的期货合约和远期合约，价格上大体相同的；这一点可以参考 www.rotman.utoronto.ca/ hull/TechnicalNotes 给出的一个套利分析。

两者定价差别最重要的来源是期货需要每日结算（daily settlement）。举个例子，假设某远期合约和期货合约价格都是 1.500，他们的价格同时上涨到 1.540。对于期货合约来说，保证金账户就会直接多出来 0.040，这部分现金可以直接被取走，因此它在当前的价值就是 0.040。对于远期合约来说，其赚到的 (1.540-1.500) 是在未来的，还需要根据利率被折算到现在这个时间点，因此可能不足 0.040。

正是这个原因，其价值的差距和利率有关。当资产价格和利率正相关时，资产价格上涨远期合约被折算地就比较厉害，因此期货价格会大于远期价格；反之，当资产价格和利率负相关的时候，期货价格小于远期价格。

实际中，影响两者价差的来源还包括税收、交易手续费、保证金管理制度、违约风险（期货市场违约风险小）、流动性等。

股指期货

股票指数可以看做是产生预期收益的投资性资产，令 q 为相应指数资产组合的股息率（dividend yield rate），其定价公式为

类似地，该公式也可以用套利分析来得到；如果期货定价高于这个价格，就可以通过买入相应的资产组合（股票）并且做空股指期货盈利，这一侧的套利一般由银行和有短期现金的大公司来完成；如果期货定价低于这个价格，就可以通过卖出相应的资产组合并且买入股指期货来盈利，这一侧的套利一般有养老金资金来完成。这样的套利叫做指数套利（index arbitrage）。

历史上也有股指期货价格严重偏离上述定价公式给出价格的情况。比如发生在 1987 年 10 月的“黑色星期一”，由于交易所的服务器瘫痪导致无法指数套利无法顺利完成，因此出现了高达 18% 的定价偏差。

货币远期和期货

类似地，远期合约和期货合约对应的资产也可以是单位数量的其他国家的货币；因此相应的价格为每单位数量的其他国家货币兑换多少美元。货币也可以看做是一种产生固定收益的投资性资产，其回报率为该货币对应的无风险利率。假设美元的无风险利率为 r，其他国家货币的无风险利率为 ，那么定价公式为

一个典型的外币期货盘口如下。当时欧元、日元、瑞士法郎的利率都低于美国，因此其期货价格随着交割期增长而增大；而澳元、英镑、加元的利率高于美国，因此其期货价格随着价格起的增长而减小。

三、商品期货投资性商品

如果某商品持有时不带来收益，但是会额外产生存储成本（比如黄金），其定价公式为

其中 U 为折算到现在的存储成本。比如交割期为一年，一年之后单位黄金收取 $2 的存储费用，无风险利率为 7%，那么

假设存储成本和资产价格成正比，也可以其定价公式也可以被写作

消耗性商品

消耗性商品由于也具有一定的仓储成本，大体上也符合上述的两个公式：

其成立的依据仍然是套利：如果定价过高，就可以买入现货（并且支付仓储成本），然后做空期货；如果定价过低，就卖出现货，然后做多期货。但是由于消耗性商品一般主要还是用来使用或者生产的，所以拥有现货的企业和公司一般不太乐意把现货卖出（卖出之后如果需要使用就会产生缺口，影响生产）；因此，后一种套利发生的会比较少。正是这种情况导致消耗性商品期货的价格会比上述定价更低，即

再用一个例子来解释这个现象：比如对于一个石油炼化企业来说，持有现货和持有期货来说是并不等价。持有原油现货意味着一旦需要，就可以立马投入炼化生产；但是如果还有期货就没有这种便利性。上述现象可以使用便利收益率（convenience yield）来表示，它表示持有每单位资产所带来的收益率。有了它之后，定价公式可以被写为：

或者

便利收益率反映了市场对于某商品未来供应不足的担忧。如果某商品库存充足，便利收益率就会降低；如果库存不充足，便收益率就会升高。

持有成本

前面的诸多分析结果都可以用持有成本（cost of carry）来概括。持有成本指的是持有某个现货带来的净成本。假设持有成本为 c，那么期货定价可以被写作

比如对于不分红的股票，持有成本为 ，其中 r 为无风险利率；对于有股息 q 的股票指数，其持有成本为 ；对于外币，持有成本为 ，其中 为该货币的利率；对于有收益率 q 和储存成本 u 的商品，其持有成本为 ；对于有便利收益率的商品，还需要额外减去便利收益率 y。

交割日期

远期合约的交割日期固定，因此能够直接确定上述定价公式中的 T；对于期货合约来说，交割日期由卖方在交易所规定的一段时间内决定，因此我们计算定价的时候需要知道应该按照什么日期进行计算。对于持有成本 c>0 的商品，对于卖方来说，多持有一天就多亏钱一天，所以他们一般会选择一个尽早的交割期，我们计算的时候应该按照交割期的第一天来计算；反之，对于 c