黄金分割数列 黄金理财比例怎么算出来的呢知乎

概念

斐波那契数列（Fibonacci数列）是数学家斐波那契以研究兔子繁殖为例研究的数列，故称“兔子数列”，又称为黄金分割数列。它的一提出就受到了社会的广泛关注，经过研究之后人们发现了这个神奇的数列有着不可估量的重要作用。这个数列在物理、化学等领域都有广泛的应用。[1]

产生

意大利数学家斐波那契，出生在一个富商家庭，是12 世纪欧亚之间数学交流的重要使者。他在1202 年的著作《计算之书》中，提出了“生小兔问题”，引发出了一个充满奇趣的数列，它不仅与几何图形、黄金分割、杨辉三角等数学知识、植物生长等自然现象有着非常微妙的联系，还在优选法、计算机科学等领域有着广泛的应用，这就是斐波那契数列。

性质

由通项A(n+1)=A(n)+A(n-1) 可证得

a.f(0)-f ⑴ +f ⑵ -…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]-1。

b.f(n+m)=f(n+1)·f(m)+f(n)·f(m-1)。

c.f ⑴ +f ⑶ +f ⑸ +…+f(2n-1)=f(2n）。

d.f(0)+f ⑴ +f ⑵ +…+f(n)=f(n+2)-1。

e.f ⑵ +f ⑷ +f ⑹ +…+f(2n)=f(2n+1)-1。

f.[f(0)]^2+[f ⑴ ]^2+…+[f(n)]^2=f(n）·f(n+1）。

假设条件

根据这一数列，结合实际情况先假设几个条件：

第一个月初有一对刚诞生的兔子；

第二个月之后(第三个月初)它们可以生育；

从第三个月开始每个月每对可以生育的兔子

就会诞下一对新兔子；

兔子没有死去。

我们按照以上假设用图形的方式来展示前几

个月兔子的繁殖的数目，详见图1。

以上展示的数列形式就是Hbonacci数列，用数列的通项表示为：

用表格列举法显示Hbonacci数列的前15项如表1所示。[2]

解法/** * 斐波那契数列问题 * 1.数组实现 1 1 2 3 5 8 13.... * a[0]=1,a[1]=1; * a[x>=2]=a[x-1]+a[x-2]; * * 2.变量变化实现 a b * 1 1 * 1 2 * 2 3 * 3 5 * 5 8 * a=1,b=1; * tem=a; * a=b; * b=b+tem; * 3.递归实现 */ public static int fib(int n) {if (n == 0)return 0;if (n == 1 || n == 2) {return n;} else {return fib(n - 1) + fib(n - 2);}}通项公式

斐波那契数列的递推公式为：

具有形如：

递推公式的数列叫做线性递推数列。这种数列的通项公式

只与数列的第一、第二项和方程 y2 = ay + b的两根有关。此方程包含了

线性递推数列的重要信息，故称之为线性递推数列的特征方程。显然斐波那契数列是一个线性递推数列。其特征方程为：

x2=x+1解得：

解得：

斐波那契数列的通项公式真的非常奇妙。我们知道斐波那契数列的每一项都是由正整数构成的，但是它的通项公式居然含有无理数。[3]

新求法

方法１（幂级数法）[4]以斐波那契数列｛Ｆｎ｝作为幂级数的系数来构造函数ｆ（ｘ），即令

利用（１）式，可得

由（３）式解得：

同时，利用间接法将ｆ（ｘ）展开成幂级数

根据函数展开成幂级数的唯一性，比较（２），（４）式，即得斐波那契数列的通项公式为

方法２（行列式法）给定ｎ 阶三对角行列式Ｄｎ，满足

其中ａ，ｂ 为实数．将行列式Ｄｎ按第１行展开，得Ｄｎ ＝（ａ＋ｂ）Ｄｎ－１－ａｂＤｎ－２，从而

因为

所以由（６）式可知

从而

在（５）式中令ａ＋ｂ＝１，ａｂ＝－１，则有

将Ｄｎ按第１行展开，得

记Ｄ０＝１，Ｄ１＝１，显然有Ｆｎ ＝Ｄｎ

方法３（差分方程法）根据齐次差分方程解的理论可知，若二阶常系数差分方程：Ｆｎ －Ｆｎ－１－Ｆｎ－２＝0。对应的特征方程有２个互异的特征根λ１，λ２，则该方程有通解

其中Ｃ１，Ｃ２为任意常数，因此，对于满足初值条件Ｆ１＝Ｆ２＝１的差分方程（１），其特征方程

有２个互异的实根，λ１＝

故其通解为

由初始条件Ｆ１＝Ｆ２＝１，可得

因此斐波那契数列的通项公式为

方法４（公式法）对于（１）式，假设存在常数α，β，使得

则α，β 应满足α＋β＝１，αβ＝－１，从而解得

由公式可得[5]

实际应用

人们对斐波那契数列的研究已然不仅仅停留在数学这一单一领域。随着世界科技的发展，斐波那契数列在各个领域大放异彩，百年前的兔子数列如今正解决着世界上最尖端的问题。斐波那契数列在数学和生活以及自然界中都非常有用，这个数列小到小学的找规律问题，大到解决金融股市难题。[6]

黄金螺旋

黄金螺旋，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线, 也叫斐波那契螺旋。由于斐波那契数列

也就是黄金分割数表达的，随着n 的增大，前后两项之比越来越接近于黄金分割数，这样的图形是无处不在的。例如许多植物的花瓣数量，中心图案等。这样的结构也存在在人耳中，增强人们的听觉。而在生活中，众多logo，商标的设计都是以斐波拉契螺旋线为灵感而发掘的。

例如风靡全球的苹果公司的logo，巴西Boticario 公司的logo 都是遵循黄金螺旋的结构的。而在《达芬奇密码》中黄金螺旋也作为了一个重要的线索出现。[7]

准晶体结构

在近代化学的不断进步中，一种介于晶体与非晶体之间的准晶体被人们发现。在这种通常也称为准晶的原子排列中，奇妙的结构出现了。长程有序的结构是与晶体相似的；不同的是准晶不具备平移对称性。准晶具有五次对称性或者更高的六次以上对称性的，它的布拉格衍射图具有其他的对称性。人们发现这种准晶体也同斐波那契序列有关。在准晶体结构中，两个原理，即二十面体原理和黄金中值定理在起作用。据这些原理，结点应按斐波那契排列分布：

在准晶体行列中，与晶格中的只有一个平移周期不同，有两个距离a 和b，且a/b=（1+ √ 5)/2( 黄金分割比）

QCLDPC 码

QCLDPC 是一类半结构化的低密度奇偶校验码, 其分块的矩阵结构具有超大规模集成电路实现上的便利, 同时保持了优异的纠错性能。可基于斐波那契数列提出了一种准循环低密度奇偶校验码的新颖构造方法, 该构造方法能避免四环的产生, 具有较好的纠错性能, 可通过改变参数值进而改变码长和码率。对任意（m0,n0), 令m0