金融工程学（六）：互换的定价与风险分析

文章目录 互换的定价与风险分析利率互换的定价利率互换定价的基本原理协议签订后的利率互换定价运用债券组合给利率互换定价运用FRA给利率互换定价 协议签订时的利率互换定价 货币互换的定价货币互换定价原理运用债券组合为货币互换定价运用FXA组合为货币互换定价 互换的风险互换的信用风险互换的市场风险市场风险与信用风险的相互影响信用违约互换

互换的定价与风险分析 利率互换的定价 利率互换定价的基本原理

头寸的分解： 利率互换可以分解为债券的组合。（书中的甲银行：浮动利率债券的多头+固定利率债券的空头）

现金流的拆分： 利率互换可以分解为一系列远期利率协议（FRA）的组合。

利率互换的定价有两种情形：

在协议签订后的互换定价，是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值。对于利率互换协议的持有者来说，该价值可能是正的，也可能是负的。在协议签订时，一个公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相等。也就是说，协议签订时的互换定价，就是选择一个使得互换的初始价值为零的固定利率。 协议签订后的利率互换定价 运用债券组合给利率互换定价

B f i x B_{fix} Bfix​：互换合约中分解出的固定利率债券的价值。

B f i x = ∑ i = 1 n k e − r i t i + A e − r n t n B_{fix}=sum_{i=1}^nke^{-r_it_i}+Ae^{-r_nt_n} Bfix​=∑i=1n​ke−ri​ti​+Ae−rn​tn​， A A A 为利率互换中的名义本金额； k k k 为现金流交换日交换的固定利息额； n n n 为交换次数； t i t_i ti​ 为距离第 i i i 次现金交换的时间长度； r i r_i ri​ 为到期日为 t i t_i ti​ 的LIBOR连续复利即期利率。

B f l B_{fl} Bfl​：互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。

B f l = ( A + k ∗ ) e − r 1 t 1 B_{fl}=(A+k^*)e^{-r_1t_1} Bfl​=(A+k∗)e−r1​t1​， k ∗ k^* k∗ 为下一交换日应该交换的浮动利息额，距下一次利息支付日还有 t 1 t_1 t1​ 的时间。

在浮动利率债券新发行时，该债券的价值就等于它的面值。在任意重新确定利率的时刻，付息之后的浮动利率债券价值等于新发行的同期限的浮动利率债券面值，付息之前的浮动利率债券价值=面值A+应付利息k*。浮动利率债券的现值：下一个付息日的折现

对于互换多头即固定利率的支付者来说，利率互换的价值为： V 互 换 = B f l − B f i x V_{互换}=B_{fl}-B_{fix} V互换​=Bfl​−Bfix​ 空头，即浮动利率的支付者，为上式的相反数。

运用FRA给利率互换定价

对于收取固定利息的交易方，FRA的定价公式为： [ A e r K ( T ∗ − T ) − A e r F ( T ∗ − T ) ] ⋅ e − r ∗ ( T ∗ − t ) [Ae^{r_K(T^*-T)}-Ae^{r_F(T^*-T)}]·e^{-r^*(T^*-t)} [AerK​(T∗−T)−AerF​(T∗−T)]⋅e−r∗(T∗−t) t时刻的FRA价值等于约定利率 r k r_k rk​ 与 T T T 至 T ∗ T^* T∗ 时刻远期利率 r F r_F rF​ 差异导致的息差现值。 r F = r ∗ ( T ∗ − t ) − r ( T − t ) T ∗ − T r_F=frac{r^*(T^*-t)-r(T-t)}{T^*-T} rF​=T∗−Tr∗(T∗−t)−r(T−t)​

协议签订时的利率互换定价

合理的互换利率就是使得利率互换价值为零的固定利率， V 互 换 = B f l – B f i x = 0 V_{互换} =B_{fl} – B_{fix}=0 V互换​=Bfl​–Bfix​=0，即 B f l = B f i x B_{fl} = B_{fix} Bfl​=Bfix​ 的固定利率。

互换利率： 利率互换协议中合理的固定利率，也就是使得互换价值为零的利率水平。

现实中的互换利率：由于互换市场实行做市商制度，而且计息频率等往往有所变化，往往是市场以一定的计息频率为基础、就特定期限形成的互换中间利率。以美元为例，市场通常将每半年支付固定利息对3个月浮动LIBOR利率的互换中间利率作为美元互换利率。

假设利率互换的互换周期为半年一次，互换利率为 r s r_s rs​，在契约期间共交换 n n n 次，则契约到期日可视为 n / 2 n/2 n/2 年，固定利率债券的价值 B f i x B_{fix} Bfix​ 在 t = 0 t=0 t=0 时为： B f i x = 100 ( r s / 2 ) ( e − r 1 × 1 2 + e − r 2 × 2 2 + e − r 3 × 3 2 + ⋯ + e − r n × n 2 ) + 100 e − r n × n 2 B_{fix}=100(r_s/2)(e^{-r_1 imesfrac{1}{2}}+e^{-r_2 imesfrac{2}{2}}+e^{-r_3 imesfrac{3}{2}}+cdots+e^{-r_n imesfrac{n}{2}})+100e^{-r_n imesfrac{n}{2}} Bfix​=100(rs​/2)(e−r1​×21​+e−r2​×22​+e−r3​×23​+⋯+e−rn​×2n​)+100e−rn​×2n​ 而 B f l = 100 B_{fl}=100 Bfl​=100，要使 B f i x = B f l B_{fix}=B_{fl} Bfix​=Bfl​，即： 100 ( r s / 2 ) ( e − r 1 × 1 2 + e − r 2 × 2 2 + e − r 3 × 3 2 + ⋯ + e − r n × n 2 ) + 100 e − r n × n 2 = 100 ( r s / 2 ) ( e − r 1 × 1 2 + e − r 2 × 2 2 + e − r 3 × 3 2 + ⋯ + e − r n × n 2 ) + e − r n × n 2 = 1 r s = 2 ( 1 − e − r n × n 2 ) ∑ t = 1 n e − r t × t 2 100(r_s/2)(e^{-r_1 imesfrac{1}{2}}+e^{-r_2 imesfrac{2}{2}}+e^{-r_3 imesfrac{3}{2}}+cdots+e^{-r_n imesfrac{n}{2}})+100e^{-r_n imesfrac{n}{2}}=100\(r_s/2)(e^{-r_1 imesfrac{1}{2}}+e^{-r_2 imesfrac{2}{2}}+e^{-r_3 imesfrac{3}{2}}+cdots+e^{-r_n imesfrac{n}{2}})+e^{-r_n imesfrac{n}{2}}=1\r_s=frac{2(1-e^{-r_n imesfrac{n}{2}})}{sum_{t=1}^ne^{-r_t imesfrac{t}{2}}} 100(rs​/2)(e−r1​×21​+e−r2​×22​+e−r3​×23​+⋯+e−rn​×2n​)+100e−rn​×2n​=100(rs​/2)(e−r1​×21​+e−r2​×22​+e−r3​×23​+⋯+e−rn​×2n​)+e−rn​×2n​=1rs​=∑t=1n​e−rt​×2t​2(1−e−rn​×2n​)​

货币互换的定价 货币互换定价原理

货币互换可以分解为：

一份外币债券和一份本币债券的组合远期外汇协议（FXA）的组合 运用债券组合为货币互换定价

定义 V 互 换 V_{互换} V互换​ 为货币互换的价值， B F B_F BF​ 为用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值， B D B_D BD​ 为从互换中分解出来的本币债券的价值， S 0 S_0 S0​ 为即期汇率（直接标价法）。

对于收入本币、付出外币的那一方： V 互 换 = B D − S 0 B F V_{互换}=B_D-S_0B_F V互换​=BD​−S0​BF​ 对付出本币、收入外币的那一方： V 互 换 = S 0 B F − B D V_{互换}=S_0B_F-B_D V互换​=S0​BF​−BD​

运用FXA组合为货币互换定价

货币互换中的每次支付都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此只要能够计算并加总货币互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值，就可得到相应货币互换的价值。

远期汇率： F = S e ( r − r f ) ( T − t ) F=Se^{(r-r_f)(T-t)} F=Se(r−rf​)(T−t)

互换的风险

与互换相联系的风险主要包括：信用风险、市场风险。

互换的信用风险

由于互换是交易对手之间私下达成的场外协议，因此包含着信用风险，也就是交易对手违约的风险。

当利率或汇率等市场价格的变动使得互换对交易者而言价值为正时，互换实际上是该交易者的一项资产，同时是协议另一方的负债，该交易者就面临着协议另一方不履行互换协议的信用风险。

当互换对交易者而言价值为负且协议的另一方即将破产时，理论上该交易者面临一个意外收益，因为对方的违约将导致一项负债的消失。

OTC交易的信用风险（对手方风险）： 当利率或汇率等市场价格的变动使得互换对交易者而言价值为正时存在

对利率互换来说： 由于交换的仅是利息差额，其交易双方真正面临的信用风险暴露远比互换的名义本金要少得多。

对货币互换来说： 由于进行本金的交换，其交易双方面临的信用风险显然比利率互换要大一些。

互换交易中的信用风险是很难估计的，交易者通常通过信用增强（ Credit Enhancement ） 来管理和消除信用风险。

净额结算抵押和盯市： 如使用抵押来提高信用，当互换价值变化时，所需抵押品的数量也要相应变化；盯市则是指每隔一段时间即重新评估互换的价值，根据该评估值由互换一方对另一方进行相应的支付，互换中的价值变量（如固定利率）则重新设置为使得互换价值为0的值。信用衍生产品： 对冲违约风险

总的来看，由于国际市场上的互换协议通常涉及资本雄厚、信用等级高的大型机构，互换违约造成的总损失通常较低。

互换的市场风险

与互换相联系的市场风险主要可分为利率风险和汇率风险：

•对于利率互换来说主要的市场风险是利率风险

•对于货币互换而言市场风险包括利率风险和汇率风险

•利率风险的管理： 久期、凸性等分析工具，运用市场上的固定收益产品如欧洲美元期货等对冲

•汇率风险的管理： 远期外汇协议等

市场风险与信用风险的相互影响

市场风险： 是由于利率、汇率等市场变量发生变动引起互换价值变动的风险，用对冲交易规避

信用风险： 是（当市场变量的变动导致）互换协议对交易者而言价值为正时对方不履行协议的风险，用信用增强来规避

当利率和汇率的变动对交易者有利时，交易者往往面临着信用风险。

信用违约互换

信用违约互换（Credit Default Swap,CDS） 又称为信贷违约掉期，也叫贷款违约保险，是目前全球交易最为广泛的场外信用衍生品。

ISDA（国际互换和衍生品协会）于1998年创立了标准化的信用违约互换合约，在此之后，CDS交易得到了快速的发展。

信用违约互换的出现解决了信用风险的流动性问题，使得信用风险可以像市场风险一样进行交易，从而转移担保方风险，同时也降低了企业发行债券的难度和成本。

在信用违约互换交易中，其中希望规避信用风险的一方称为信用保护购买方而另一方即愿意承担信用风险，向风险规避方提供信用保护的一方称为信用保护出售方，违约互换购买者将定期向违约互换出售者支付一定费用(称为信用违约互换点差)，而一旦出现信用类事件(主要指债券主体无法偿付)，违约互换购买者将有权利将债券以面值递送给违约互换出售者，从而有效规避信用风险。

信用违约互换（CDS）属于期权的一种。